前言
許多孩子都從簡單的字母書開始學習閱讀,他們舒服地坐在父母溫暖的膝上,逐一聆聽字母,從「A拼寫出alligator(鱷魚)」到「Z拼寫出zebra(斑馬)」。這類書籍或許不是偉大的文學作品,卻是教導孩子認識字母、詞彙和語言的有效啟蒙讀物。
本書仿效這類孩童字母讀物,收錄系列短文,從A到Z概括論述數學學識。但內容部分比較精深(這時D不再代表doggie〔小狗〕,而是拼寫出differential calculus〔微分學〕),而且也不需要坐在溫暖的膝上。不過基本理念相同,依然是從A到Z的閱讀歷程。
就專供讀者從頭到尾閱讀的書籍來講,這種格式帶來一項嚴苛的限制。畢竟,數學課題的發展進程,並不依循拉丁字母邏輯順序來映照顯現,因此,章節變換有時會顯得突兀。此外,儘管某些字母涵括眾多可能題材,有些卻也十分冷僻,這種狀況在孩童字母讀本也可以發現,比如「C拼寫出cat(貓)」,輪到X卻是「X拼寫出xenurus(犰狳)」。往後讀者就會注意到,其中論題有些是硬塞進去的,就像把一隻十六號的大腳,用鞋拔硬塞進八號的靴子裡。為配合字母順序來規畫論題流程,確實引發重大邏輯難題。
本書開頭是(顯然)很簡單的算術題材。後續各章則反覆探討各項主題,還常有糾結交織的情況。相連各章有時彼此很能匹配,例如G、H和I三章,都談幾何學,還有K和緊接在後的L章,則是談十七世紀的以撒.牛頓和戈特弗里德.萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)兩位死對頭。有些章節集中論述單一數學家,比如E章的歐拉、F章的費馬,和R章的羅素。有的篇章論述特定成果,例如等周問題或阿基米德求得球狀曲面表面積的作法。還有的則探究比較寬廣的議題,好比數學人物,或者女性在這個學門的身影。另外,不論探討哪項題材,各章都撥出大量篇幅來探究歷史沿革。
隨著論述發展,所有篇章起碼都會簡略提及數學的主要分支(從代數到幾何,乃至於機率和微積分)。這些段落的設計,著眼於解釋關鍵數學理念,帶有非正式教科書的意味,而且每個篇幅都零星出現實際的證明(或者至少是「小證明」)。舉例來說,D和L兩章便分別介紹微分和積分的算法,也因此背負的數學包袱較為沉重一些。
然而,就多數章節而言,陳述時都刻意避開直接技巧推演。所有數學題材幾乎都屬於基礎層次,也就是針對腹中裝有些許高中代數和幾何學識的對象來講述。專業數學家在字裡行間應該找不到什麼驚奇內容。本書的目標對象,是對數學具有廣博興趣,程度至少和他們所受訓練相符的讀者。
有幾項主題會一再出現書中:數學是種歷史悠久,卻又生機蓬勃的學問,處理的課題,包括日常重要事務,也包括沒有絲毫用處的事項;數學亦是一門汪洋浩博的學問,其寬廣程度,唯有其精深程度堪可比擬。依照字母順序安排章節,鋪陳道出這其中事理,就是本書的目標。
為免輕忽之失,這裡不能遺漏約翰.保羅士(John Allen Paulos)的《超越數》(Beyond Numeracy, Knopf, New York, 1991)。他表示,這本書「部分是字典,部分是數學文集彙刊,還有部分則是數學學人的反思心得」。保羅士以生動著述,從A到Z描繪出一組數學課題──他在該書中的內容安排,是從algebra(代數)到Zeno(芝諾)。他為某些字母安排了多項條目,採這種作法,涵括範疇才更為寬廣;我則收納較少條目,不過文章篇幅較長,如此安排可提增深度。期望我們這兩本書,可以和平共存,構成同採字母編排的變化成果。
當然,一名作家不可能探討所有關鍵要點、介紹所有重要人物,或兼顧數學界所有迫切議題。每有轉折都必須做出抉擇,而影響抉擇的要件包括,內部一致需求、題材的複雜程度、作者的興趣和專業,還有全然人為的字母順序布局。這類計畫總有遺珠,而且缺捨的數量,甚至有獲採納條目的數千倍之多;同時,大批有潛力的論題,也在剪輯室中,命喪於文字處理人員之手。
到頭來,這本書就成為一個人隻身面對浩瀚數學宇宙的反應成果。本書描繪出一段旅程,代表在無數作家、無窮盡可能的旅程當中,最後真正落實的選擇。同時,這裡我並不聲稱,自己確實恪遵從A到Z的廣博路徑來鋪陳內容。
暫且把這些限制要件擺在一旁,我希望這些章節,能夠彰顯所述題材的無窮魅力,起碼要讓讀者略瞥箇中妙處。十九世紀數學家索菲亞.柯瓦列夫斯卡婭(Sofia Kovalevskaia)便曾指出:「許多無緣更深入認識數學的人士,分不清數學和算術的差異,還誤以為這是一門枯燥冷僻的科學。事實上,這卻是門需要最高強想像力的科學。」1本書或許還有一項功能,藉此可以彰顯十五世紀希臘哲人普羅克洛斯所述見識:「單憑數學,便能重振生機、喚醒靈魂......洞見生命。還能化形影為實在,化黑暗為智慧光芒。」2