消失的天才：完美的數學證明、捨棄的百萬美元大獎，一位破解百年難題的數學家神祕遁逃的故事

序

一個百萬美元的難題

　　數，就像具有魔力般令人著迷，而數學家則特別擅長賦予數字意義。二○○○年，一群世界頂尖的數學家齊聚巴黎，召開一場在他們心中具有重大意義的會議。他們利用這個場合審視數學領域，討論純粹的數學之美：一個能為所有人了解及欣賞的價值。他們花時間互相恭維，最重要的是暢談彼此的夢想。他們也一起設想未來數學成就的優雅、實質與重要意義。

　　這場千禧年會議（The Millennium Meeting）是由非營利性機構克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）召開，這個研究所的創建人是波士頓商人克雷（Landon Clay）與他的妻子拉維妮亞（Lavinia），目的在於推廣數學觀念，鼓勵數學家探討數學。在成立的兩年間，克雷數學研究所在麻薩諸塞州劍橋市（Cambridge）哈佛廣場（Harvard Square）外的一棟大樓，設立了一個美觀的辦公室，並且頒發了一些研究獎項。其後，他們又針對數學的未來擬定了一項抱負遠大的計畫，正如以證明費馬最後定理（Fermat’s Last Theorem）聞名於世的英國數論學家懷爾斯（Andrew Wiles）的解釋，他們打算「記錄二十世紀最具挑戰性且我們最期望能解開的難題」，「我們不知道它們會在何時如何解開：有可能要等五年，或者可能一百年。但我們相信解開這些難題，可以為數學發現與領域開創全新的局面」。

　　於是克雷數學研究所彷彿在編織數學童話般，提出七大難題（在許多民間傳統中，「7」是具有魔力的數），並為每道難題的解答懸賞一百萬美元的高額獎金。數學界的王者開始在授課時，總結這七大難題。二十世紀最具影響力的數學家之一阿提雅（Michael Francis Atiyah），開始簡述一九○四年龐加萊（Henri Poincare）提出的「龐加萊猜想」（Poincare Conjecture）。這道難題是數學拓撲學領域的經典問題。「許多著名的數學家都曾經研究過，但都未能解開。」阿提雅陳述：「歷來出現過許多誤謬的證明。許多人嘗試解答並犯了錯。有時是他們自己就發現了錯誤，有時是他們的朋友發現的。」聽眾聽了開始笑，顯然其中至少有些人曾在嘗試解開這道難題時犯過錯誤。

　　阿提雅提出解答有可能來自物理學。他開玩笑說：「這是無法解開這道難題的老師，為試圖解開它的學生提供的一種線索，一個暗示。」聽眾中的確有幾個人正在研究這道難題，希望能夠更早攻克「龐加萊猜想」。但沒有人認為解答會很快出現。有些數學家在研究著名的問題時，的確會隱瞞自己全神貫注的對象，如同懷爾斯研究費馬最後定理時的做法，但是一般而言，他們在研究上大多會設法跟別人並駕齊驅。此外，儘管在這場千禧年會議之前，每年多少都有一些人提出關於「龐加萊猜想」的推定證明（putative proof），距離最近的重大突破卻是在一九八二年，美國數學家漢米爾頓（Richard Hamilton）為解開這道難題設計了一個藍圖，那已是將近二十年前的事了。然而，漢米爾頓隨後發現他為找到解答所做的計畫，亦即數學家所謂的程式（program），很難執行，而其他人又無法提出可靠的替代方法。「龐加萊猜想」有可能像克雷數學研究所提出的其他千禧難題一樣，永遠無解。

　　解決這七大難題中的任一題，都會是偉大的成就。每道難題都承載著數學家數十載的研究光陰，其中有許多人在努力多年後，直到過世都無法找到解答。「克雷數學研究所真的想傳達一個明確訊息，亦即數學之所以珍貴，主要就在於這些超難的難題，它們就像數學界的埃弗勒斯峰或聖母峰。」同為二十世紀數學巨擘的法國數學家孔恩（Alain Connes）曾說：「首先，要抵達山巔就極度困難，甚至可能賠上性命或付出其他類似的代價。但是當我們抵達山峰時，眼前的視野肯定令人讚嘆。」

　　即使在可見的未來解開任一道千禧年難題的可能性都極低，克雷數學研究所仍針對每個獎項的頒發規畫了明確的計畫。他們規定所有難題的解答均須在有審查制度的期刊上發表，當然這也是一般期刊的標準做法。在發表出版後，必須等候兩年，讓世界各地的數學家檢視，並就其正確性和作者權達成共識。然後他們會任命一個委員會，負責推薦受獎人。唯有經過這些程序後，克雷數學研究所才會頒發百萬美元的獎金。懷爾斯估計至少要五年才會有人提出第一個正確解答，假定任一道難題真正被解開的話，因此這個程序看起來一點也不麻煩。

　　二○○二年十一月，才過了兩年時間，就有一位俄羅斯數學家把「龐加萊猜想」的證明貼在網路上。他不是第一個宣稱已經證明「龐加萊猜想」的人，甚至不是同年唯一一個在網路上張貼這個猜想的推定證明的俄羅斯人，但他提出的證明最後確認是正確的。

　　然而，其後的事情並未按照克雷數學研究所或任何數學家會視為合理的計畫進行。這位證明了「龐加萊猜想」的俄羅斯人名叫格里高利．佩雷爾曼（Grigory Perelman），他並未在有審查制度的期刊上發表自己的解答，也不願仔細研究或甚至審閱其他人針對他的證明所做的論述。他拒絕了世界一流大學提出的許多工作邀約，也拒絕領取原訂在二○○六年頒發給他的數學界最高榮譽「費爾茲獎」（Fields Medal）。然後，他基本上斷絕了與全球數學界及大多數同事的聯繫。

　　佩雷爾曼的奇特行為引起人們對「龐加萊猜想」及其證明的注意，在其他數學故事上可能都不曾見過這樣的發展。等著佩雷爾曼領取、前所未見的高額獎金，還有兩位中國數學家宣稱他們才是真正證明「龐加萊猜想」的人，以至於突然引發的剽竊爭議，也助長了各界的關注。人們對佩雷爾曼談得愈多，他露面的時間似乎愈少；儘管他仍長年住在聖彼得堡的公寓，但到最後，連一度與他熟識的人都說他已經「消失」。他偶而會接電話，但只是為了聲明他希望外界視同他已經不在人世。

　　我剛開始撰寫本書時，希望找到三個問題的答案：佩雷爾曼為何能解開「龐加萊猜想」，首先，他的心智與過去所有數學家有何差異，為什麼他能解開這道難題？其次，他後來為何拋棄了數學，甚至幾乎到拋棄整個世界的地步？最後，克雷數學研究所的獎金應歸他所得，也肯定有助於改善他的生活，他會拒絕接受嗎？如果會的話，原因為何？

　　我撰寫本書的方式跟一般傳記的做法不同。我並沒有長期訪談佩雷爾曼。事實上，我完全沒有與他交談過。等我開始撰寫本書時，他已經跟所有記者和大多數人斷絕聯繫。這使我的工作變得更加困難，因為我得想像一個未曾謀面的人，但這也讓這項工作變得更加有趣：就像進行一場調查。幸運的是，大多數曾經與佩雷爾曼親近且熟知「龐加萊猜想」故事的人，願意接受我的訪談。事實上，有時我覺得這比描繪一個合作的故事主人翁還容易，因為我想寫的並不是佩雷爾曼本人敘述的故事及他對自己的看法——而是想找出真相。