第15章  地圖著色

西洋棋盤只需要兩種顏色，就能塗滿整個盤面，方法是讓緊鄰（共用一條邊線）的兩個小方格各塗上不同顏色。有些地圖也是一樣，只需兩種顏色就可以塗滿，使相鄰的國家有不同的顏色，但是有些地圖就做不到了。

為了簡單起見，當我們說「能以兩種顏色著色的地圖」或「兩色地圖」時，我們指的是只要用兩種不同的顏色，就可以把整張地圖塗滿，而且那些共享至少一條邊線的國家，會有不同的顏色。同樣的，在本章稍後，我們可能會談到「用三種不同的顏色塗滿地圖」或者說「一張五色地圖」，都是指：共享一條邊線的國家顏色不同。

我們假設前面兩張地圖，畫的都是一個有很多國家的大島。我們稱那些國界的交叉點為「頂點」，而不在海岸線上的頂點則稱為「內陸頂點」。而「頂點的次數」是指交會在這個頂點的邊線數目。這種觀念已經在第7章扮演過關鍵性的角色。

那些海島上有眾多國家的地圖裡，由於包圍內陸頂點的國家必須交替著上不同的顏色，因此若有個內陸頂點的次數是奇數的，這張地圖就沒辦法用兩種顏色來著色。我們因此得到下列定理：

定理1：如果一個海島上有許多國家的地圖能用兩種顏色來著色，則每個內陸頂點的次數都是偶數。

至於四色地圖的問題，可以回溯到1852年的10月23日，是梅氏（K. O. May）提出的。就在這一天，古斯瑞（Francis Guthrie）把它拿給他的老師，邏輯學家笛摩根（Augustus De Morgan, 1806-1871）看，而笛摩根則寫信問哈密頓（W. R. Hamilton, 1805-1865）：

我的學生今天就一件事問我原因何在。他認為這件事是一項事實，但我不那麼確定，以前也沒注意到。他說如果把一個圖形隨意分割，並且把每塊區域塗上不同的顏色，使得同一條邊線的兩邊顏色不同，則只需要四種顏色就一定夠了，甚至更少些……

你認為如何？如果真的是這樣，你以前知道嗎？我的學生說他曾以英格蘭的地圖來做實驗。這件事，我愈想愈覺得它是真確的。