這才是數學：從不知道到想知道的探索之旅

推薦序 從「測量」看數學與數學之美 游森棚
推薦序 去掉條條框框，看見數學的本質 洪萬生

真實與想像
漫談數學問題

上篇 大小與形狀
我們一開始先談抽象幾何圖形；
對稱鋪磚和角度；
縮放和比例；
長度、面積與體積；
窮盡法及其結果；
多邊形和三角學；
圓錐曲線與射影幾何；
力學曲線。

下篇 時間與空間
這一篇涵蓋了數學上的運動；
以數值關係描述運動；
向量表示法和力學相對性；
速度；
微分法及其各式各樣的應用；
最後是給讀者的一點鼓勵。

英中譯名對照

〔推薦序〕
從「測量」看數學與數學之美
游森棚／任教於國立台灣師範大學與空軍官校

　　測量是人類的本能：到那棵樹有多遠？有幾頭獅子？我有多高多胖？測量也是人類的挑戰：那個池塘面積有多大？海岸線有多長？下一次的日蝕是什麼時候？

　　讀者手上的這本書《這才是數學》，原文的書名就是「測量」(Measurement)。這本書用「測量」為經，帶領讀者穿越時光隧道，縱覽了從古希臘時代開始，一路到微積分的數學。

　　這本書的作者Paul Lockhart曾是幾何學家，寫過幾篇相當好的學術論文，並且曾在名校布朗大學任教。2000年起他離開學術界，到紐約布魯克林的Saint Ann's中學教書。他感嘆美國中小學的數學教學現場光怪陸離，根本摧毀了學生對數學的熱情與想像力，於是寫下了一份手稿「一位數學家的嘆息」（A Mathematician’s Lament），這份有名的手稿先在數學圈中流傳，而後於2009年出版。這本《Measurement》是他最新的，也是談數學與數學教育的科普書籍。

　　這是一本相當特別的數學科普書。不少數學科普書籍因為讀者程度的設定，常常花大量的時間在打轉：或者編造數學問題的情境；或者鋪陳數學家的生平，怪癖，或軼事。但是這些故事通常和「數學」本身沒有關係。這本書不然。作者非常明白地告訴讀者，他只談數學：數學的發現，數學的內容，數學為何美麗。

　　作者開宗明義說，數學世界只存在於心智中，點就是一個點，線就是一條完美的線，圓就是一個完美的圓，不像現實世界充滿了近似值。在這個世界中，你可以盡情玩耍，觀察後發現一些現象，然後做出猜測，然後證明，這一路的過程正是數學迷人的原因。更神奇的是，一旦論證是對的，所有的發現就是斬釘截鐵，就變成絕對正確的真理：三角形的三條中線就是會交於一點，直角三角形的兩短邊的平方和就剛好等於斜邊的平方和。作者雖未言說，但這正是柏拉圖的思想：在理型世界中，各種關係是永恆不變的，是絕對的真理。

　　作者帶領我們從簡單的形狀開始測量，線段的長度，三角形的角度和，多邊形與多面體。為了測量正方形的對角線就出現了無理數。為了測量圓周長出現了超越數。接著是面積，體積，開始有代數，三角，圓錐曲線和射影幾何。把曲線看成是質點的運動軌跡，就出現了函數，速度，微分，積分。最終停在指數與對數。

　　數學的發展一日千里，當代數學百家爭鳴，不僅有抽象數學的理論高度，更有應用數學的興起，與跨領域的整合。本書的題材從規則形狀的測量一路談到微積分，取材相當豐富，卻也是相當古典的，事實上，這離當代的數學的研究對象已經非常遙遠了。但是正因為這些是古典題材，更足以讓我們依循著古人的發現腳步，一窺數學的堂奧。但本書不掉書袋，娓娓道來，雖沒有太多人名和歷史故事，實際上卻橫跨了數學史數千年的發展，份量已經足以開一門數學史的課程了。

　　我極佩服作者能夠信手拈來，用非常直觀的方法把許多概念講得清清楚楚，用簡單的例子說明重要概念是怎麼成形的，以及一些根本的結果為什麼會是對的。比如說：怎麼對小學生解釋為什麼三角形的面積剛好是底乘以高的一半；怎麼對國中生解釋圓的面積是圓周率乘以半徑的平方；為什麼圓，橢圓，拋物線，雙曲線在射影之下是同一件事；微分公式是怎麼來的。有好多個結果解釋得非常漂亮，我自己都眼睛一亮。

　　作者堅持只談數學本身，這也是不少數學家面對數學教育的堅持，輔助的教學方法不能反客為主。此外，正如同欣賞音樂或文學要先能理解音樂或文學的語言：要能欣賞數學，也需要理解數學的語言，否則終究是碰不到核心。作者期待讀者也一起「動手做」，才能體會由發現到證明的數學之美，於是文中穿插了許多有趣的習題 (有些還不太容易)。以上這些，對於讀者都是不小的挑戰。

　　但無論如何，作者努力向我們傳達他的信念：數學是來自於觀察，發現，證明的心智活動，它的的美麗來自自身，來自過程中滿溢的想像與創造，以及對簡單真理的渴望。

　　數學是科學的根本，牽涉到邏輯思考，抽象力，想像力，觀察與創造或審美等等最基本重要的素養。但是台灣的教學現場上，教師常常急著呈現結果，而忘了帶領學生探索概念的形成，以及體會發現的樂趣。不少學生以為數學就是背公式解類似題，完全無法體會有何樂趣可言。更糟糕的是這就磨掉了觀察力與創造力，以及主動探索的能力——這真是令人遺憾的事。希望這本書的出版，能帶給第一線的數學教師們一些鼓舞與啟示。

〔推薦序〕
去掉條條框框，看見數學的本質
洪萬生／國立台灣師範大學數學系退休教授

　　何謂數學？保羅・拉克哈特現身說法，利用本書來解說他的答案：數學是一門研究模式的科學（science of pattern）。

　　不過，想要回答此一問題，我們也可以簡短回顧這種知識活動的歷史軌跡。考察古埃及、巴比倫乃至中國的數學的發展歷程，到公元前500年左右，所謂數學是指與數目相關的一種學問。以中國漢代數學經典《九章算術》為例，數學所指涉的活動幾乎都以「算術」為主。顯然，它的內容以實用為依歸，至於方法則依循「食譜」的特色：「對一個數目這樣做、那樣做，那麼，你將會得到答案。」

　　從大約公元前500年到公元300年間，是希臘數學的輝煌時期。古希臘的數學家主要關心幾何學，而且訴諸於嚴密推理與形式證明，以建立牢固的數學知識結構。因此，對於古希臘人而言，除了研究數目之外，數學主要是有關形狀的一門學問。

　　儘管如此，到十七世紀為止，數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態問題。相對地，牛頓與萊布尼茲在各自獨立發明的微積分這一門學問中，引進處理運動和變化的方法之後，數學家終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、液體的流動、氣體的擴散、電力和磁力、飛行，乃至於動植物的生長等等自然現象。因此，在這兩位發明微積分的偉大數學家之後，數學變成了研究數目、形狀、運動、變化以及空間的一門學問。

　　不過，大約十八世紀中葉之後，有感於微積分的無遠弗屆威力，數學家著手瞭解其背後的原因究竟，從而對數學知識本身產生了遞增的興趣。於是，古希臘形式證明的傳統，捲土重來掌握了優勢。因此，到了十九世紀末為止，數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間、以及研究數學的工具的一門學問了。

　　在最近的四十年間，數學家對於「何謂數學」之說法，則一如前述：數學是研究模式的一門科學。誠如拉克哈特指出，數學家的職責就是探索或檢視抽象的模式。這些模式可以是真實存在或想像的、視覺性或心智性的、靜態或動態的、定性或定量的、純粹功利或有點超乎娛樂趣味的。它們可以源自我們的周遭世界，或者源自心靈的內部運作。不同種類的模式當然引出不同的數學分支，譬如說吧，幾何學研究形狀的模式；微積分允許我們處理運動的模式。而這兩種模式，正是拉克哈特在本書中現身說法之主要依據。

　　針對幾何學研究，拉克哈特強調它「與其說是關於形狀本身，不如說是關於定義形狀的遣詞用字模式（vocal pattern）。幾何的中心問題，是抓住這些模式並做出量度——這些數本身，也必須具有遣詞用字模式。」至於在本書下篇中，作者引進微（積）分方法，部分原因顯然出自對比（量度）方法論的考量。請看拉克哈特如何說明：「我總是喜歡拿古代研究幾何量度的方式，來和近代的研究方式比較一下。希臘古典想法是把量度按住，然後做分割；十七世紀的方法則是任它四處跑，觀察它的變化。」儘管如此，他在說明如何「量度」圓面積時，還是指出古典方法（如窮盡法）的深刻動人：「我們做的近似值並不只是少少幾個，而是無窮多個。我們其實做了一連串無止境的近似值，一次比一次接近，而從這些近似值可以看出一種模式，告訴我們最終會趨向什麼結果。換句話說，透露出某種模式的無窮多個『謊言』（lies），竟能告訴我們真理。」

　　對於拉克哈特來說，模式之為用大矣！在說明餘弦定律針對銳角、直角與鈍角三角形都有效時，拉克哈特強調：「要讓模式來決定我們對於意義的選擇。數學這門學問就是圍繞這個主題；我們甚至可以說，這是這門藝術的本質——聽從模式，來調整自己的定義和直觀。」

　　我希望上述簡短的說明及引述，多少可以傳達我如何喜愛這一本數學普及著作。事實上，作者罕見的敘事功力，讓本書處處洋溢著極其睿智的洞識，譬如在說明餘弦定律的意義時，拉克哈特就指出：「這個公式告訴我們一件事：角度與長度彼此沒有直接關係；角度必須透過餘弦，來間接傳遞訊息。就好像角度需要一位裝扮成餘弦的律師，代替它們去和長度打交道。角度與長度身處不同的世界，說著不同的語言。正弦和餘弦擔任字典的角色，把角度的語言轉換成長度語言。」我想一般的數學老師大概都能說出上引文字上半部分的含意，但是，下半部分的比喻，恐怕就不那麼容易想得到了。

　　其實，拉克哈特針對證明vs.敘事，也有著十分精彩的比喻：「數學證明就像在說故事。題目中的元素就是人物角色，故事情節則由你決定。」這是因為「就像任何一篇文學小說，我們的目標是寫出在陳述上令人信服的故事。」而「在數學上，這表示情節不僅要合乎邏輯，還必須簡明而優雅。沒有人喜歡看拐彎抹角又複雜的證明。我們當然想看到理性的思路，但也希望感受到美的震懾。一個證明應該兼顧美感與邏輯。」

　　總之，本書一如作者稍早出版的《一位數學家的嘆息》，十分坦誠且帶有強烈的個人風格。然而，對比前書的教育改革之基進主張，本書完全著重在數學探險之旅的驚喜與樂趣。儘管作者所舉的案例都取自古典數學（尤其是古希臘幾何學），不過，其論述之直指核心，以及敘事之詩意想像，都讓本書成為中學數學普及讀物的上上之選。因此，我要向大學數學通識師生與中學數學師生鄭重推薦本書，當你有機會閱讀本書時，你一定會發現：原來數學可以這樣學習！至於一般讀者呢，接觸本書一定可以體會：你在過往的數學知識活動中，究竟錯過了什麼！