毛起來說無限

序

第一部　數學的無窮
1.    邁向無窮的第一步
2.    成為正式的數學
3.    收斂與極限
4.    無窮級數的魅力
5.    幾何級數
6.    再談無窮級數
7.    插曲：數的觀念之旅
8.    發現無理數
9.    康托的新觀點
10.    超越無窮

第二部　幾何的無窮
11.    一些函數及其圖形
12.    對單位圓的反轉
13.    地圖與無窮遠點
14.    平面鋪磚
15.    新角度看幾何
16.    遍尋不著的絕對真理

第三部　美學的無窮
17.    享受無窮！
18.    莫比烏斯紐帶
19.    鏡子裡的奇妙世界
20.    對無窮的愛
21.    無窮大師：艾雪
22.    現代神祕主義者

第四部　宇宙的無窮
23.    古代世界
24.    新宇宙觀
25.    漸行漸遠的天際線
26.    一個弔詭及其餘波
27.    不斷擴張的宇宙
28.    現代的原子論者
29.    往後會到哪裡去？

結語
附錄

序

　　啊，無窮！再也沒有其他的問題能如此深深觸及人類的精神面貌；也沒有其他的想法這麼有效的刺激人類的智慧，然而它卻是最需要澄清的觀念……──希爾伯特（David Hilbert, 1862–1943）

　　上面是引述自一位偉大的數學家希爾伯特的說法，他說了這麼一個故事：有一天晚上很晚，旅館裡來了一個人，要一間房間。「對不起，已經沒有空房了，」老闆接著說：「但我查查看，大概可以替你找個房間。」老闆離開櫃檯，勉強叫醒了房客，要他們換房間：1號房客換到2號房，2號房客換到3號房，如此類推，每間房間的客人都換到下一號房去。第1號房就空了下來給晚到的客人，他簡直不敢相信自己的運氣，快快樂樂進了房間安頓了下來。但一個惱人的問題讓他睡不著覺：為什麼房客只要移移房間，第一個房間就空了出來？（請注意啊，他到旅館時，所有房間都是住滿的。）客人恍然大悟：這一定是「希爾伯特旅館」，也就是本地人都知道的，有無窮間房間的旅館！只要把房客移到下一間房間，1號房就空了出來：

　　1　2　3　4　5　6　. . .

　　1　2　3　4　5　6　. . .

　　這有名的故事大體點出了無窮的整個要意。這種引人入勝的弔詭，看起來不可能的情況，已經困惑人類兩千年。這種弔詭之根源在於數學，而數學也在其最後得以解決的過程中提供了最有用的辦法。讓無窮觀念得以澄清並解開其神祕面紗，要到二十世紀才足以竟全功，而且也不能說解決之道就此定於一尊。就像任一支科學一樣，數學也會一再發現不足之處，而再重新思考。一個謎題剛剛得解，另一個謎又在眼前。在科學上，以追求最終的理解為目標，其實是可望不可及的。但就是這種難以企及的特性，使得任一支科學都非常吸引人，數學當然也不例外。

　　許多思想家想過無窮的問題。一線段或一個量是否可以一直分割下去，或者會得到不可分割的點或「原子」，這樣的問題讓古希臘的哲學家議論不休。現代的物理學家，承繼過去的香火，還在為同樣的問題奮鬥，用巨大的粒子加速器來尋找「基本粒子」（意思是，整個宇宙就是由這些基石建造起來的）。天文學家則從尺度的另一極端──無窮大，來思考無窮的問題。宇宙是無窮大嗎？無論誰觀看著清朗的星空，似乎都會這麼想。還是宇宙有邊界，過了邊界就什麼都沒了？有限宇宙的想法似乎有違直觀，如果我們固定一個方向一直走，難不成會碰到「邊界」？各位往後就會知道，要了解無窮，直觀是個不好的指引。

　　藝術家也處理過無窮，他們把這個概念畫在畫布上，或寫成文字，而成了文學瑰寶。梵谷凝視著眼前一望無際的法國原野，說出：「我在凝視無窮。」巴斯卡（Blaise Pascal）以慣有的陰鬱眼光看世界，嘆道：「無窮空間的永恆寂靜使我深感恐懼。」而另一位學者布魯諾（Giordano Bruno），欣喜於宇宙無窮的想法而說出他的名言：「打開門窗，你可以看到無盡的蒼天。」為了這句話，他被逮捕，受到宗教裁判而判了死刑。

　　但無論如何看待無窮，最後總要回到數學，因為在這裡無窮的觀念有其最深的根源。有一種觀點說，數學就是研究無窮的科學。日本數學會編纂的《數學百科辭典》中，「無窮」、「無窮大」、「無窮小」等詞在索引中就出現不下五十次之多。事實上，如果沒有無窮觀念，很難想像數學還會存在，因為小孩子學數學的第一步，數算1、2、3…，就是假定每個數之後都有下一個數。幾何中最基本的觀念直線，也一樣基於類似的假定──理論上我們可以把直線的兩端一直延伸出去。就連在機率理論，這類看似關於「有限」的數學領域之中，無窮的觀念竟也扮演微妙的角色：擲一個銅板十次，可能得到五個正面五個反面，也可能六個正面四個反面，或其他的可能，但當我們說「擲出正面與反面的機率各半」，其實已經暗自假設了無窮次的丟擲會得到一半一半的結果。

　　我第一次遇到無窮，是在我還是小孩子的時候。有人給了我一本《哈加達》（也就是出埃及的故事），它的封面圖中有個小孩，手中拿的就是這本書。當我再看得真切，發現小孩手中那本《哈加達》的封面上出現同樣的畫面。很有可能，那個小畫面中的書封上也有這個畫面──不怎麼記得了。但我清楚記得有個想法一直縈繞在腦中：假如真的畫得出來圖中的圖中的圖……，可以沒完沒了！這種可能性實在有趣；當時我還太小，不知道有一位荷蘭藝術家艾雪（M. C. Escher，那時還沒什麼名氣），也深受同樣的想法吸引，把它表現在畫作中，在他技巧所及的範圍，盡量把這種重複的過程帶到極限。

　　許多年之後，我另有一次機會碰到無窮，一種情境完全不同的邂逅。有一天晚上，我在華府的康乃狄克大道逛街，無意中站在一座矗立於人行道上的大型抽象雕像面前。一塊銅牌標示這件作品的大名：「無窮之極限III」。它由一個巨大的銅環及繫於銅環兩端點的一個螺旋狀物所組成。拉長了的螺旋狀物似乎可以旋轉，所以我輕輕碰它一下，心想它會轉動起來。想不到一個暗藏的警鈴大作，尖銳的響聲著實把我嚇得半死。驚魂甫定，內心自忖道：「汝不可觸摸無窮！」

　　無窮的概念，帶給世世代代的人許多興奮與驚訝之情，在往後的各章裡，我試著把這些故事拿來與讀者分享。某種程度來說，我的故事是主觀的──我以數學家的觀點來說這故事，因而意味著，我得面對想為門外漢寫一本科普書的任何一位科學家都會有的迷惘：如何用非專家可了解的語言，把作者的意思呈現出來，同時又不會讓他的學術同行說他不夠嚴謹。就數學而言，這種迷惘更為深刻。

　　這本書是要給一般讀者看的，所以在文字間我盡可能不用「高深」的數學。（當然，熟悉一些基本代數絕對沒壞處。）一些特別的數學題材已經搬到附錄裡了，讓一般的討論內容保持流暢。大體而言，各章之間只有鬆散的連結，所以跳過少數幾章不讀並不礙事。如果讀者只想隨興瀏覽，也可以享受有關無窮的許多插畫與圖片，以及許許多多的名言佳句和詩文。

　　寫書時許多朋友幫了忙，我要感謝他們。尤其該感謝同事Wilbur Hoppe及Robert Langer，他們讀了手稿的大部分，提出了許許多多的建議；感謝Blagoy Trenev，我不斷的打擾他，問他用詞與寫作風格的問題；感謝Hilde Bacharach及Raffaella Borasi，他們告訴我兩首描述無窮的美詩；感謝Ruth Ollendorff，讓我讀了她的亡夫許多未發表的文章，我也把這本書題獻給已過逝的Franz Ollendorff教授；感謝Mary Besser，她編輯大部分的手稿，對最後的定稿也幫了很多忙；感謝Lynn Metzker，大部分的線圖是她畫的；感謝威斯康辛大學Eau Claire分校及密西根州的奧克蘭大學，他們給我兩筆經費，大大支援了我的工作；最後要感謝Birkhäuser Boston出版社的編輯及製作群，經他們的特別努力，才使這本書得以出版。但更要特別感謝的是我的母親Luise Metzger，她長年下來給了我豐富的文化薰陶，還要感謝我的太太Dalia，有她的鼓勵與耐心，我才能在許多個夜晚把她冷落在家裡而留在辦公室裡寫書。要不是她們兩人的支持，這本書是不可能完成的。

　　最後一句附筆。在進行任何討論之前，數學家一定要說清楚他所用的符號。請大家注意，我在本書裡用的「他」字，泛指「他或她」。如果你認為我的用詞比較傳統，那只是為了簡潔的目的。

於密西根州，羅徹斯特
1986年6月13日