神奇數學117

序 與數學的美妙相遇 豪普特曼
前言 一起來欣賞數學之美 波沙曼提爾

第1章 數字之美
　　單元1、令人驚異的數字模式（一）
　　單元2、神奇的數字模式（二）
　　單元3、神奇的數字模式（三）
　　單元4、神奇的數字模式（四）
　　單元5、神奇的數字模式（五）
　　單元6、神奇的數字模式（六）
　　單元7、奇妙的乘方關係
　　單元8、美麗的數字關係
　　單元9、不尋常的數字關係
　　單元10、奇怪的公式
　　單元11、奇妙的1,089
　　單元12、擋不住的1
　　單元13、完美的數
　　單元14、友誼數
　　單元15、另一種友誼
　　單元16、迴文數
　　單元17、充滿趣味的三角形數
　　單元18、驚人的費布納西數
　　單元19、進入一個無止境的迴圈
　　單元20、乘方迴圈
　　單元21、階乘迴圈
　　單元22、無理的v2
　　單元23、連續整數的和

第2章　算術妙招
　　單元24、乘以11
　　單元25、什麼樣的數可以被11整除？
　　單元26、什麼數字可以被3或9整除？
　　單元27、質數的整除規則
　　單元28、俄國農夫的土法煉鋼乘法
　　單元29、數字21、31與41的快速乘法
　　單元30、聰明的加法
　　單元31、字母運算
　　單元32、滿口歪理
　　單元33、不尋常的數字「9」
　　單元34、七折八扣
　　單元35、平均數是「平均的」嗎？
　　單元36、72規則
　　單元37、提煉出平方根

第3章 答案令人驚訝的問題
　　單元38、審慎的推論
　　單元39、令人驚訝的答案
　　單元40、一個甜美多汁的問題
　　單元41、從結論往回推
　　單元42、邏輯思考
　　單元43、就看你如何組織數據
　　單元44、注意正確的資訊
　　單元45、鴿籠原理
　　單元46、蒼蠅的飛行
　　單元47、同心圓
　　單元48、不要忽視那些顯而易見的事
　　單元49、假裝很困難
　　單元50、假設最糟糕的情況

第4章 代數的趣味
　　單元51、用代數輕鬆算
　　單元52、神祕的數字「22」
　　單元53、有趣的把戲
　　單元54、利用代數來證明數論
　　單元55、找出圖形數的模式
　　單元56、利用模式求出級數和
　　單元57、從幾何觀點看代數
　　單元58、黃金分割與代數
　　單元59、代數不是萬能的
　　單元60、把分母化成有理數
　　單元61、畢氏三元數

第5章 美妙的幾何
　　單元62、三角形的內角和
　　單元63、五角星形的角度
　　單元64、更加認識π
　　單元65、永遠出現的平行四邊形
　　單元66、面積與周長的比較
　　單元67、如何量出地球的周長？
　　單元68、圍繞地球的奇妙繩索
　　單元69、新月形與三角形
　　單元70、永遠存在的正三角形
　　單元71、拿破崙定理
　　單元72、黃金矩形
　　單元73、利用摺紙的方法，做出黃金分割
　　單元74、難搞的正五邊形
　　單元75、帕普斯不變量
　　單元76、巴斯卡不變量
　　單元77、布利安桑對巴斯卡不變量的精采擴充
　　單元78、畢氏定理的簡單證明
　　單元79、摺出畢氏定理
　　單元80、美國總統也證明了畢氏定理！
　　單元81、圓面積是怎麼回事？
　　單元82、兩個三角形獨一無二的配置法
　　單元83、正三角形裡一個距離不變的點
　　單元84、九點共圓
　　單元85、辛普森不變量
　　單元86、西瓦提出的有用關係
　　單元87、顯然交於同一點？
　　單元88、歐拉的多面體

第6章 數學的詭論
　　單元89、所有的數字都是一樣的嗎？
　　單元90、– 1並不等於 + 1
　　單元91、不可以用0去除！
　　單元92、所有三角形都是等腰三角形？
　　單元93、關於無窮級數的謬論
　　單元94、虛偽的邊緣帶
　　單元95、謎一樣的詭論
　　單元96、三角學的謬論
　　單元97、對極限的瞭解

第7章 計數與機率
　　單元98、十三號星期五
　　單元99、先想想，再動手
　　單元100、是增加？還是減少？
　　單元101、同月同日生
　　單元102、日曆裡的祕密
　　單元103、來個交易
　　單元104、猜猜正面與反面的數目

第8章 數學集錦
　　單元105、數學裡的完全或完美
　　單元106、美麗的幻方
　　單元107、還沒有解決的問題
　　單元108、意料之外的結果
　　單元109、大自然中的數學
　　單元110、時鐘的指針
　　單元111、你在地球上的哪個位置？
　　單元112、七橋問題
　　單元113、最容易引起誤解的平均數
　　單元114、巴斯卡三角形
　　單元115、一切都是相對的
　　單元116、不要太快下結論
　　單元117、一條美麗的曲線

結語 給數學老師的叮嚀
誌謝

與數學的美妙相遇

　　英國的哲人，也是數學家羅素（Bertrand Russell）曾寫道：「數學不但真實，還異常的美麗。數學的美具有一種冷靜、嚴密的特質，好像一件雕塑品，極度純淨又接近絕對完美，就像最偉大的藝術家的作品那樣令人感動。」

　　這個人就是和英國數學家兼哲人的懷海德（Alfred Whitehead）合著《數學原理》（Principia Mathematica）的羅素嗎？《數學原理》這本書看起來很深奧，一點也不像一件藝術作品，很難讓一般人覺得有什麼美感。我們該相信哪一種說法？

數學與我

　　我首先要聲明的是，幾年前讀到羅素寫的話時，我是完全相信它的。我有這樣的信念已經好幾十年了。

　　記得我在10或12歲的時候，第一次知道有所謂柏拉圖立體（platonic solid）的存在。柏拉圖立體是完全對稱的三維空間圖形（稱為多面體），它們所有的面、邊線與角都完全一樣。柏拉圖立體只有五種。我當時在讀一本數學娛樂的書，書裡不只介紹這五種柏拉圖立體的圖形，還附了一些紙模型，讓你可以真的做出這些柏拉圖立體。這些圖形讓我留下深刻的印象。我一直到把這五種正多面體都做出來才肯停手。

　　這是我對數學初次見面的印象。事實上，我覺得柏拉圖立體非常美（就像羅素所說的），而且在此同時，它們所具有的對稱特性在數學上非常重要。這種對稱性對於幾何與代數都有很深遠的影響。從很實際的意義來看，它們可能是聯繫幾何與代數的橋樑。雖然我當時還太小，看不出這種重要的關係。但我可以說，這場美妙的遭遇，奠定了我一生熱愛數學的基礎。

　　跟數學第二次相逢的時間，我已經記不太清楚了，但我實實在在的記得是和一些曲線有關。我為這些曲線的單純、美妙，以及描述它們的數學所著迷（可能是心臟線或蔓葉線）。在兩個月的暑假期間，我翻遍了百科全書，把所有能找得到的，有關數學曲線的資料，都一股腦的吸收一遍，完全無法停下來喘口氣。當時我大概是13或14歲吧。我發現曲線的形狀，有無窮多的變化，而幾何特性有一種無法形容的美感。

　　那是個令人終生難忘的暑假。在暑假開始的時候，我根本不瞭解在每篇資料前面、必定會出現的那些方程式，到底是什麼意思。但經過兩個月，每天花四、五個小時和它們打交道之後，你想不瞭解它們也難。因此，我瞭解了曲線和它的方程式之間的關係，也瞭解了代數與幾何這兩個學問之間的關係。這種關係本身就具備了深切的美感。

　　經由這種方法，我沒有痛苦、也毫不費力、事實上是快快樂樂的學會了「解析幾何」（analytic geometry）。每條曲線都把隱藏的祕密揭露出來，它們全都非常美，有些還令人印象深刻。你們不會再懷疑，我為什麼對那個暑假終生難忘了吧？

　　在無限多的不同曲線中，擺線（cycloid）只是其中之一，有的在平面上，有的在空間裡扭動。單是一種擺線，就有無數的奇妙特性，足以反映出羅素所說的「極度美感」，能夠稱得上是完美傑作。這個例子清楚的告訴我們，大自然就是一本偉大的數學書，明明白白的寫在每個人眼前，裡面寫著一些真正的哲理（這是我改寫自伽利略的話）。歡迎每位讀者勇敢的打開它，好好的欣賞。裡面的美妙事物是無窮無盡的。

　　我很想舉個美妙的曲線的例子給你們看，但是《神奇數學117》這本妙書裡有個單元正好是談這個題目，因此我還是留給本書的作者去介紹比較好。如果你們有些人實在忍不住好奇心的話，可以先翻閱8.13節，看看年輕的心是如何受激發的。

對數學的初戀

　　為什麼我要介紹一段這樣的插曲呢？因為你們將要碰上一本非常美妙的數學書。它的設計與編寫，就是要喚起你們對數學的興趣的。不管是什麼樣的讀者，都會被本書吸引，尤其是學生。不過我們也不可能知道，什麼人會對什麼題目有興趣。對我來說，對稱的立體圖形和曲線最能吸引我，但對你們而言，可能是某項完全不同的東西。因此，《神奇數學117》有很多不同的範圍與主題，讓大部分的人都能從裡面各取所需。也希望大家都找得到自己喜歡的單元。

　　我和作者波沙曼提爾博士合作寫過很多東西。我非常瞭解波沙曼提爾。他總是非常熱切的想把數學的美妙之處介紹給所有人。而且他對這件事，懷抱著極大的熱誠。這種專心的投入，在書裡處處可見。從題材的選擇，以及解說的生動，到處都看得到他的巧思與匠心獨運。當然內容的適切是不必再多說的，他還非常留意，儘量避免使用一般人很陌生或沒有適當定義的名詞。

　　因此，在《神奇數學117》裡，你們將以很輕鬆而沒有壓力的方式，體會到數學的美妙之處，這也是本書最主要的目的。每一位數學家都希望一般的社會大眾能分享他對數學的熱愛與感動，欣賞數學之美。

　　對我而言，我把早年對數學的熱愛，帶進實驗室的科學研究裡，因此我有其他科學家不一定有的直觀與見解。這種對於數學結構的誠摯熱情，讓我解決掉一個困擾化學界幾十年的問題。我也出乎意料的得到1985年的諾貝爾化學獎。我後來才知道，自己是第一個得諾貝爾獎的數學家（譯注：因為諾貝爾獎沒有數學獎）。所有這些，都起源於對數學美感的初戀。

　　也許《神奇數學117》會為年輕學生開拓一個全新的視野，讓數學有機會對他們展現獨特的美。你可能會很驚喜的發現，《神奇數學117》帶給學子的新觀念或學習機會。只要學生能有更大的學習動機，去領略數學的美妙與用途，本書就算成功了。