用數學的語言看世界：一位博士爸爸送給女兒的數學之書，發現數學真正的趣味、價值與美

導 讀 一本用數學寫下的經典童話（賴以威）
前 言 送給女兒的數學課

第一話 利用不確定的資訊來判斷
序 O.J. 辛普森（O.J. Simpson）判決案辯護方教授的主張
1 首先來擲骰子吧
2 不會輸的必勝法
3 條件機率以及貝氏定理
4 接受乳癌診斷到底有沒有意義呢
5 從經驗中學習變成從數學學習
6 重大核能事故再次發生的機率
7 O.J. 辛普森有罪嗎？

第二話 回歸基本原理
序 為了創新所需要的能力
1 加法、乘法的三項規則
2 有了減法，然後發現了「零」
3 為什麼負負得正
4 只要有分數，什麼都能分割
5 假分數→帶分數→連分數
6 利用連分數來製作曆法
7 其實不想承認的無理數
8 二次方程式的華麗歷史

第三話 天文數字也不可怕
序 世界初次的原子彈核爆實驗與費米推定
1 大氣中的二氧化碳到底增加了多少呢
1.1 人類究竟消耗了多少能量呢
1.2 人類排放出了多少二氧化碳呢
2 出現天文數字也不可怕
3 讓天文學家的壽命延長兩倍的祕密武器
4 什麼樣的儲蓄方法能讓複利效果最大化呢？
5 銀行存款要幾年才會變成兩倍呢？
6 尋找自然法則中的對數

第四話 不可思議的質數
序 純粹數學之花
1 用「埃拉托斯特尼（Eratosthenes）篩法」尋找質數
2 質數有無限多個
3 質數的出現是有規律的
4 利用「巴斯卡三角形」判定質數
5 通過費馬測試就是質數？
6 守護通訊祕密的「公開金鑰密碼」是什麼？
7 「公開金鑰密碼」的鑰匙─歐拉定理
8 信用卡號碼的傳送與接收

第五話 無限世界與不完備定理
序 歡迎光臨「加州旅館」
1 「1=0.99999…」是無法認同的嗎？
2 阿基里斯追不上烏龜嗎
3 「現在，我正在說謊」
4 「不在場證明」是「反證法」
5 這就是哥德爾的不完備定理！

第六話 測量宇宙的樣貌
序 古希臘人要怎樣測量地球的大小呢
1 基本中的基本──三角形的性質
1.1 證明三角形內角和是180 度
1.2 一輩子也忘不了的「畢達哥拉斯定理」証明法
2 劃時代的想法「笛卡兒座標系」
3 6 維空間、9 維空間、甚至10 維空間
4 歐幾里德定理不成立的世界
5 僅僅只有平行線公理不成立的世界
6 不需從外面觀察就可以知道二維面形狀的「絕妙定理」
7 畫一個邊長100億光年的三角形

第七話 微積分從積分開始
序 阿基米德的信
1 為什麼「從積分開始」呢
2 說到底，面積到底要怎樣計算
3 什麼圖形都ok 的、「阿基米德逼近法」
4 積分究竟在算什麼呢
5 試著積分各式各樣的函數吧
6 飛行中的箭是靜止的嗎
7 微分是積分的逆算
8 指數函數的微分與積分

第八話 真實存在的「幻想的數」
序 幻想的朋友、幻想的數
1 不管怎樣都會出現「平方之後變成負數」
2 從一維的實數到二維的複數
3 複數的乘法是「回轉延伸」
4 利用乘法推導的「加法定理」
5 幾何問題，用方程式來解答！
6 連結三角函數與指數函數的歐拉公式

第九話 測量難度與美
序 伽羅瓦、20 年的生涯與不滅的功績
1 什麼是圖形的對稱性
2 「群」的發現
3 二次方程式「公式解」的祕密
4 三次方程式、為什麼有解
5 「方程式有解」究竟是怎樣一回事呢
6 五次方程式與正20 面體
7 伽羅瓦最後的信
8 算式的難度與形式的美
9 多擁有一種靈魂

後記
 

導讀　　一本用數學寫下的經典童話

賴以威（臺師大電機系副教授、臉譜「數感書系」特約主編）

如果用法語來譬喻的話，這本書不是從最初級的文法開始教的教科書，反而像是去法國旅行時能派上用場的會話書。
──〈前言．送給女兒的數學課〉

　　讀完序再翻回封面看書名，你大概就知道這是一本怎樣的數學書了。作者大栗博司教授是加州理工學院的理論物理學研究所所長，這是一本站在知識頂端的學者，低首寫給女兒的一本數學童話書。

　　有涉獵數學科普書的朋友，一定對書中某幾個數學故事不陌生：無限個房間的旅館，某天來了無限多位客人；從辛普森殺人案件中討論機率；質數在加密解密上的應用……。事實上，書中所用的都是相當經典的數學故事。
　　但看過不代表就沒意思，經典之所以是經典在於它能讓人印象深刻。所以我們看到羅密歐與茱麗葉的故事不斷被改編，金庸小說每隔幾年就被拿上銀幕重拍一次。透過不同的詮釋，經典會被賦予不同的感受。
　　大栗博司教授就是一位能充分發揮數學經典魅力的作家。

　　1900年，德國大數學家希爾伯特（D. Hilbert）在巴黎的國際數學會議上引用了一位法國老數學家的話：「如果你無法將一個數學理論弄清楚到可以解釋給街上任何一個人聽，那麼這個數學理論就不算完成。」把一個很難的問題說得很複雜沒什麼了不起，只要照著網路上找到的資料唸就好；但想要用自己的語言，清楚地對他人解釋，那就需要對整套知識的通盤了解。

§　差一點就差很多的機率推理

　　大栗博司教授具備這樣的本事，他對每個經典的數學故事和背後理論有著透徹的認識，在表達闡述上也下過一番苦心（照他自己的說法是，專欄寫一遍，集結成冊時再重新大改一次）。例如第一章講到機率時的「量化可能性」。在辛普森殺妻命案中，辯護團律師有這麼一段論述：「2500位虐待妻子的丈夫之中，只有1人會因此而殺了妻子。」低到只有萬分之四的機率，因此對辛普森「既然會家暴，也可能會殺了妻子」的控訴自然不成立。
　　看起來相當合理，但大栗博司教授指出其中推理的重大缺陷。先看另一個事實：美國兩萬名已婚婦女中，只有1人會遭到丈夫以外的人殺害。換句話說，如果是十萬名被家暴的婦女，平均有5位會遭到丈夫以外的人殺害。但同時，因為萬分之四的機率，有40位婦女會被丈夫殺害。所以家暴殺害妻子的機率高達40/(40+5)，將近90%。
　　為什麼同樣的一件事從不同角度來看，機率會差這麼多？
　　關鍵在於辛普森妻子此刻的死活。
　　辯護團律師的計算過程，是建立在只遭到家暴的前提下。但擺在眼前的現實是她已經死亡，因此計算機率時，必須將妻子遭到殺害這個事件作為前提。兩者都是在計算條件機率，只是條件有所不同，大栗博司教授的考量顯然更符合當下的狀況。

　　僅僅是一個條件的不同（有沒有考慮到妻子已遭他殺），就讓數據大翻轉。好比原本以為只有一面是六點，打開骰盅才發現有五面都是六點。大栗博司教授透過這個例子，讓讀者感受到精算機率的威力，也更認識條件機率。

§　不接受負數的數學家

　　我另一個喜歡本書的原因是，書中提到一些數學發展演進的過程。如果你唯一的數學讀物是課本，那麼，儘管你知道不是這樣，但還是會常常覺得數學彷彿一開始就長得跟現在一模一樣，每一條公式、定理都是數學家們信奉的真理。
　　「從零減去四的話，依然是零！」
　　這句話很荒謬吧，聽起來就像是哪個試圖在數學課跟老師唱反調的同學會說的話。但它其實是出自於法國偉大的數學家帕斯卡（B. Pascal）之口。帕斯卡製作了全世界第一台計算機，氣壓常用單位「百帕」也是以他來命名，學校上課會提到的帕斯卡三角形，同樣是在指這位數學家（雖然這個三角形其實不是他發明的）。這麼一位天才數學家，對負數的了解真的不如一位國小學生嗎？其實不是，只是在那個時代數學知識的演進與觀念，還不足以讓數學家們接受「負」，他們覺得零就是無，不存在比無還更小的事物。

　　從數學史的演進裡我們可以看到，現在被視為理所當然的數學知識，在過去可能曾經被視為錯誤，是經過許多數學家們辯證、思考後才被接受，納入數學體系。
　　從這個角度來看，小朋友學數學時有問題是再理所當然不過了，畢竟連帕斯卡都對負數感到疑惑，我們更不應該用「公式就是這樣啊」的回答去敷衍他們，是要開心於他們有自己的思辨能力，不會只因為課本這樣寫，就決定相信。
　　我想大栗博司教授被女兒問到數學問題時，心裡必然也有類似的想法吧。

§ 語言乘載思考

　　每當腦海裡浮現一個想法時，我們會挑選適當的詞彙與句型，將想法裝入名為「語言」的容器中。但不是每次都能找到完全貼合的容器，有時候會有空隙，有時候得用力擠一下才能放進去。也因為這樣，如果長期使用同一種語言作為容器，我想會反過來影響到一個人的思考。

　　伽利略說過：「自然界的書是用數學的語言寫成。」把學校課本視為文法書，這本書視為旅遊會話書，重新以語言的角度來看待數學，活用數學。相信習慣後，你的思維也會被數學固有的特質雕塑得更加精確，更有邏輯性。

　　現在，準備好閱讀這本用數學寫下的經典童話了嗎？