數學女孩秘密筆記：創造數字篇

　
　　「數是人類心靈的自由創造」——戴德金

　　本書的主題是「數字的構成」，是一本深入討論數字的書籍。

　　在學校，學習是一步步從1、2、3的自然數到包含零和負數的「整數」、用分數和小數表示的「有理數」、包含圓周率等的「實數」，然後通過方程式學習到「複數」。

　　而本書則是以故事的形式，描繪了從一無所有之處開始一點一滴創造「數字」，是從空集合開始，創造了非負整數、整數、有理數、實數和複數等各種「數」。

　　能親自「創造」出我們認為理所當然的「數字」，是不是很驚人呢？

　　不用記憶各種各樣「數字」的性質，而是一邊進行對話，一邊從什麼都沒有之處一步一步地構成「數」。
　　讀者在追尋故事的同時，通過思考「數字到底是什麼」，被引導到數學的世界。
　　在這趟旅途中，我們還稍微窺視了環、體等代數系統，以及全序關係等的「數學性結構」
　　希望各位與女孩們一同愉快體驗了創造數目的過程，並且感受到自由創造的喜悅。
　　不僅是國中生、高中生，只要你想享受數學，這本書都值得一讀！

　　讓我們創造數字吧！
　　創造數字才能夠了解數的本質。
　　數，難道不是每個人都知道的東西嗎？
　　那麼，嘗試回答下述問題：

　　什麼是0？
　　什麼是1？
　　什麼是－765298374293486592763495234？
　　什麼是340282366920938463463374607431768211456？
　　什麼是 ？
　　什麼是 ？什麼是 ？什麼是 ⋯⋯。？
　　數，究竟是什麼呢？

　　對0來說，1是什麼呢？
　　對我來說，你是什麼呢？
　　對你來說——我是什麼呢？

　　讓我們創造數字吧！
　　以便探究數的本質。
　　以便體會——數的魅力。

作者簡介

結城 浩

　　1963年生。2014年日本数学会出版賞得主。執筆寫作有關程式語言、設計模式、密碼、數學等領域的入門書。最新著作是「數學女孩系列」。是一個最喜歡巴哈的「賦格的藝術」作品的新教基督徒。出版有2011《數學女孩／費馬最後定理》，2012《數學女孩／哥德爾不完備定理》，2013《數學女孩／隨機演算法》、2014《數學女孩／伽羅瓦理論》（世茂出版）、2021《數學女孩》、2015—2022《數學女孩秘密筆記》系列。

　　www.hyuki.com/

譯者簡介

衛宮紘

　　自由譯者。譯有《機器人實體圖解》《質感行銷學》（世茂）、《簡報力》《義大利麵哲學家》（智富）、《「睡眠負債」速償法》《日本酒入門》（瑞昇）……等。賜教信箱：emiyahiro@hotmail.com.tw

第1 章   創造0、1、2、3、……
 
「在不曉得X是什麼的情況下，能夠創造X嗎？」
 
1.1　謎題
 
由梨：「哥哥！有沒有好玩的謎題呀？」
 
由梨是我的表妹，是住在附近的國中生。
 
每到假日，她總會跑到我家串門子。我們從小一起長大，關係非常親近，她習慣稱呼我為「哥哥」。
 
我：「那麼，我來出一道謎題吧。」
 
說完後，我在紙上寫出一條數學式子。
 
謎題
這個是什麼？
｛｛｝, ｛｛｝｝, ｛｛｝, ｛｛｝｝｝｝
 
由梨：「嗯⋯⋯感覺好混亂。這是文字暗號？」
 
我：「雖然看起來像暗號，但實際上是一條數學式子。」
 
由梨：「數學式子？」
 
我：「對，這是數學式子。所有大括弧｛ ｝的大小都一樣，可能會不好直接解讀，所以我們試著改變符號的大小來幫助理解吧。將愈外側的大括弧寫得愈大。」
 
｛｛｝, ｛｛｝｝, ｛｛｝, ｛｛｝｝｝｝
            ↓
｛｛｝, ｛｛｝｝, ｛｛｝, ｛｛｝｝｝｝
 
由梨：「哦∼原來如此，變得容易閱讀了∼」
 
我：「反應這麼平淡？」
 
由梨：「因為還是一堆符號啊！」
 
我：「沒有這回事喔！仔細看會發現，在最外側的｛ ｝裡，含有3 個用逗號（，）隔開的元素。」
 
｛｛｝, ｛｛｝｝, ｛｛｝, ｛｛｝｝｝｝
 
由梨：「嗯，這樣就看出來了。真的有3 個元素。」
 
我：「這條數學式子是
 
｛｝和｛｛｝｝和 ｛｛｝, ｛｛｝｝｝｝
 
含有這3 個元素的集合。」
 
由梨：「集合？」
 
我：「沒錯。集合是指⋯⋯」
 
由梨：「哥哥，等等！那麼，謎題的答案是『含有3 個元素的集合』嗎？如果只是這樣，一點都不有趣！」
 
我：「謎題的答案就只有這樣。不過，其實後面還有下文。
 
{{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} 是使用集合創造3的數學式子！」
 
由梨：「哎？創造3 ？」
 
我：「不僅是3。只要使用集合，就可以創造出0、1、2、3、⋯諸如這些數字！」
 
由梨：「創造數字？什麼意思？」
 
我：「這是馮．紐曼＊提出的方法。藉由這個馮．紐曼法，可以像這樣創造0、1、2、3、⋯⋯等數字。」
 
馮．紐曼定義法的0、1、2、3、⋯⋯
 
0＝{ }
1＝{ { }}
2＝{ { },{ { }} }
3={ { },{ { }} , { { },{ { }}}}
 
由梨：「果然是暗號！完全看不懂喵！」
 
由梨使用喵語表達不滿。