工程數學：常微分方程

第1章 常微分方程
1.1 定義和術語
1.2 初值問題
1.3 微分方程的起源 034
1.4 數學模型

第2章 一階微分方程
2.1 可分離變數的方程
2.2 齊次微分方程
2.3 正合微分方程
2.4 積分因子
2.5 一階線性微分方程
2.6 非線性微分方程
2.7 變數代換法
2.8 斜率場

第3章 一階微分方程的應用
3.1 幾何應用
3.2 正交和等角軌線
3.3 加熱或冷卻
3.4 混合
3.5 重力問題
3.6 簡單電路
3.7 其他應用

第4章 高階微分方程
4.1 線性微分方程的基本理論
4.2 Abel定理
4.3 降階法
4.4 常係數高階線性微分方程
4.5 未定係數法
4.6 參數變換法
4.7 微分算子
4.8 Cauchy-Euler方程
4.9 Legendre線性方程
4.10 變係數線性微分方程
4.11 可降階的高階方程
4.12 應用

第5章 微分方程的級數解
5.1 在常點的冪級數解
5.2 在奇點的冪級數解
5.3 Frobenius 級數解
5.4 雷建德方程
5.5 貝索方程

第6章 一階微分方程的定性理論
6.1 平衡點和相線
6.2 分歧

第7章 微分方程組
7.1 常係數線性齊次微分方程組
7.2 特徵值和特徵向量的方法
7.3 未定係數法求方程組的通解
7.4 用Jordan form求微分方程組的通解
7.5 矩陣指數的方法
7.6 常係數線性非齊次微分方程組
7.7 變係數線性微分方程組
7.8 線性自治方程組的平衡點
7.9 跡-行列式平面
7.10 繪製相圖
7.11 微分方程組的首次積分法
7.12 人造衛星的軌道方程

第8章 一階高次微分方程
8.1 前言
8.2 一階隱式微分方程與參數表示
8.3 判別曲線
8.4 奇異解與包絡

第9章 二階初值、邊界值和特徵值問題
9.1 簡介
9.2 初值問題
9.3 邊界值問題
9.4 正交函數集
9.5 Sturm-Liouville問題
9.6 Sturm-Liouville問題的應用
9.7 Sturm-Liouville問題的例子

第10章 全微分方程
10.1 簡介
10.2 全微分方程Pdx + Qdy + Rdz = 0可積分的充要條件
10.3 Pdx + Qdy + Rdz = 0為正合的條件
10.4 Pdx + Qdy + Rdz = 0的軌跡與dx/P=dy/Q=dz/R的軌跡之間的關係
10.5 Pdx + Qdy + Rdz = 0的幾何解釋
10.6 全微分方程的解法
10.7 可積分全微分方程的特殊解法
10.8 非可積分的全微分方程

 

序

　　微分方程是表示函數與其導數相關的數學方程。在應用程序中，函數通常表示物理量，導數表示其變化率，方程定義兩者之間的關係。由於這種關係極為普遍，因此微分方程經常出現於工程學，數學，物理學，經濟學和生物學。沒有微分方程，物理學將會失去預測的能力。幾何學也需要微分方程，我們用它來計算物體的曲率及其變化，例如，一個球在滾動時是否會加速，完全是由滾動軌跡的曲率所決定。

　　各種類型微分方程的研究都是以實際問題的建立數學模型開始，然後以不同的方法進行解的表達，以達到解決問題的目標。在微分方程解的表達中，除了解析解以外，還有定性方法，利用斜率場、解的圖像、相平面上的向量場及軌線等工具，達到對解的漸近行為的最好理解。本書既講述求解各類微分方程解析解的方法，又介紹定性方法，以展示數學研究的本質。不僅能夠訓練讀者嚴密的數學思維方式，而且可以引導讀者藉由數學模型解決實際問題。

　　我們不可能沒有念過甚麼書籍，沒有看過前人的著作，一下子靈感來就可以解決各類問題。看別人的著作和自己思考問題，這是兩種性質完全不同的腦力勞動。所有學問的成長，學問的取授一定要有思考，不鼓勵思考的機械式訓練是不好的。

　　創造力並不是人工智能做得到的，尤其是觀念上的創造，實數到複數，牛頓力學到量子力學，這是觀念的大改變，人工智能不可能做得到。人類的思維比機器想像的複雜得多，數學家很講究邏輯的發展，但是當我們在思維的時候往往不太邏輯化，有時候是錯誤的想法，這對我們還是有好處的。機器還沒有辦法全部學習人類的思維，最尖端前沿的學問始終還是要靠數學跟人類的智慧。現在人講彎道超車，學問不可能彎道超車，一定要腳踏實地好好學。

　　數學上最大的進步並不在解決難題，因為這樣只會使某些研究領域完結，而在於開闢全新的各式各樣的問題，以供探索，數學是不停改進自己的一門學問。

　　數學提供一窺未來，以及觀察系統如何演變的手段。學習數學就好像旅行，我們竭盡所能的努力，就為了親眼看一看那些沒有見過的風景。數學用它那不可思議的神奇力量，讓我們眼前的世界變得更加豐富多彩。

　　本書為工程專業的學生和從業人員提供了系統、全面的常微分方程介紹。內容力求理論的嚴密性、方法的多樣性、應用的廣泛性。可供需要學習常微分方程的學生作為教材或閱讀之用，也可供教師、科研人員參考。書中疏漏不當之處，敬請學者、專家指正。