最廣泛實用的數學課：探索公理與定義，一手掌握數學知識

前言

第1章 踏上旅途之前的準備
數學是怎麼樣的學問呢？
數學具有哪些分類？
數學的基本用語與概念

第2章 踏上旅程吧！
第1節 代數學  
第1項 線性代數
第2項 群論
第3項 環論
第4項 體論
第5項 數論
第6項 代數幾何學
第7項 算術幾何
第8項 表現理論

第2節 幾何學
第9項 點集拓樸學
第10項 流形論  
第11項 代數拓樸學
第12項 微分幾何學
第13項 微分拓樸學、低維拓樸學

第3節 分析學
第14項 微分積分學
第15項 向量微積分
第16項 微分方程式論  
第17項 複變函數論
第18項 傅立葉分析
第19項 勒貝格積分論
第20項 機率論
第21項 泛函分析學
第22項 動力系統

第4節 數學基礎論
第23項 數理邏輯學
第24項 集合論
第25項 範疇論

第5節 應用數學  
第26項 理論計算機科學
第27項 數值分析
第28項 離散數學
第29項 統計學
第30項 密碼學
其他的應用數學  

第3章 旅程的尾聲  
製作地圖吧 ～致學習數學的人～
結語

序

　　或許有些人會覺得，數學不就只是在研究「數」嗎？數學不是已經沒什麼好研究的了嗎？

　　其實數學處理的領域非常多，除了數字，還包含了圖形、函數、邏輯，這些都是人類的思考結晶。由於數學不像其他自然科學那樣，是觀察現象、進行實驗與分析的學問，所以許多人不知道數學到底是研究什麼的學問也不足為奇。

　　學習數學、研究數學與登山其實非常類似。一開始，我們都是從加法、減法開始學習，這就像是爬山時，會先從山腳開始往上爬，等跨越各種困難爬到山頂，才能看到遼闊的美景。

　　爬到山腰，覺得前方困難重重時，只要先爬上去，之後再往下看，就會覺得當時的困難沒什麼。

　　不過，站在山腳的人很難想像站在山頂俯瞰的景色，這也正是數學的困難之處，所以有不少人在還沒見識到山頂的美景就半途而廢了。

　　本書就是想幫助大家解決這種在數學中遇到的困難。本書設定的主要讀者群是高中生與大學新鮮人，主在說明數學的發展樣態。我比各位在名為數學的這座山多爬了幾步，因此很想為大家畫出數學的地圖（比我多爬幾步的前輩當然也可以看看本書）。

　　在旅行之前，光看旅遊導覽書籍就讓人覺得很興奮對吧？同理可證，先透過這本書了解爬上數學這座山的山頂能看到何種世界，除了能讓大家在學習數學的路上更加快樂，也會更知道接下來該往哪邊走。如果本書能讓更多人對數學生出興趣，或是想要試著挑戰數學，那真是作者再開心不過的事情了。

　　一如許多先人一步步為我們實際測量了世界的大小並繪製了世界地圖，本書介紹的數學世界地圖也只是根據我的所見所聞所繪製，因此很可能還有我未曾見聞的領域。

　　數學世界地圖與世界地圖的差異之處在於，不是每個人都能正確畫出數學的世界地圖，有些人會在不同的領域畫出不同的「國界」，各領域的「觀光景點」也不盡相同，而且還有許多所有人都未曾開拓過的領域，所以就這層意義來說，數學的世界就像是「宇宙」。還請大家在了解這點之後，盡情地在我以個人見聞所繪製的數學世界地圖之中遨遊。

　　話不多說，就讓我為大家帶路，進入數學的世界吧。