數和數列

前言

第1講數的擴張1

1.1數和數學的起源1

1.2復數與四元數5

1.3典型例題10

習題13

第2講數學歸納法14

2.1第一數學歸納法14

2.2第二數學歸納法17

2.3聯立歸納法18

習題19

第3講等差數列21

3.1階乘與求和記號21

3.2等差數列性質23

3.3典型例題25

習題30

第4講等比數列32

4.1等比數列概念及性質32

4.2典型例題33

習題39

第5講數的整除與一次不定方程40

5.1整除性質40

5.2輾轉相除法41

5.3一次不定方程43

習題49

第6講素數51

6.1素數概念51

6.2素數無窮多的證明52

6.3素數判別53

6.4素數難題55

習題57

第7講算術基本定理及其應用58

7.1算術基本定理58

7.2最大公因子與最小公倍數60

7.3除數函數d(n)與因子和函數σ(n)62

7.4完全數64

習題66

第8講取整函數與抽屜原理68

8.1取整函數性質68

8.2階乘中素數指數計算70

8.3抽屜原理73

習題75

第9講同余性質與同余方程77

9.1同余概念及性質77

9.2同余方程80

9.3分數同余82

習題84

第10講中國剩余定理85

習題89

第11講組合數與二項式定理.90

11.1組合數概念及性質90

11.2二項式定理93

11.3組合恆等式96

11.4Lucas定理101

習題103

第12講Fermat小定理與Wilson定理105

12.1Fermat小定理105

12.2Wilson定理109

習題112

第13講Euler函數、Euler定理與素數原根114

13.1完全剩余系與簡化剩余系114

13.2Euler函數116

13.3Euler定理119

13.4素數的原根120

習題123

第14講二次剩余的Euler判別條件125

14.1二次剩余概念125

14.2Euler判別條件127

習題131

第15講二次互反律132

15.1Legendre符號132

15.2二次互反律及其證明135

15.3Jacobi符號138

習題143

第16講兩平方和定理145

習題151

第17講四平方和定理152

習題157

第18講Fibonacci數158

18.1Fibonacci數的恆等式與Lucas定理158

18.2Fibonacci數的同余性質163

18.3Fibonacci數的應用167

習題169

第19講Bernoulli數170

19.1Bernoulli數和Bernoulli多項式的基本性質170

19.2Bernoulli冪和公式175

19.3Bernoulli數的同余式177

19.4Bernoulli數的其他經典結果182

習題183

第20講Lucas數列、Fermat數與Mersenne數185

20.1Lucas數列的恆等式185

20.2Lucas數列的同余性質、Fermat數與Mersenne數194

習題207

第21講數論史話-------從Fermat到Kummer208

21.1Fermat208

21.2Euler210

21.3Lagrange和二元二次型212

21.4Legendre214

21.5Gauss和四次互反律216

21.6Eisenstein和三次互反律220

21.7Dirichlet，Jacobi和有理互反律222

21.8Riemann和Riemann猜想225

21.9Lucas227

21.10Kummer和Fermat大定理227

參考文獻230

索引231