改進傅里葉方法及其應用

第1章 預備知識 1
1.1 改進傅裡葉（Fourier）級數的引進 1
1.1.1 概念的引進 1
1.1.2 命題的證明 4
1.1.3 舉例 6
1.2 非奇異線性常微分方程的求解（注釋：引理1——相容性條件的引入，引理2——相對誤差的引入） 9
附錄A 14
附錄B 相容性條件的引進——引理1 15

第2章 存在間斷點的線性（二階）常微分方程的求解 17
2.1 存在間斷點的齊次方程的求解 17
2.1.1 0-階導數項的係數為間斷函數的方程的求解 17
2.1.2 1-階導數項的係數為間斷函數的方程的求解 21
2.1.3 2-階導數項的係數為間斷函數的方程的求解 26
2.2 存在間斷點的非齊次方程的求解 31

第3章 奇異的線性常微分方程解的構建 36
3.1 奇異方程的非奇異解[注釋：引理3（關於奇異解分類）的引進，引理4（關於約束條件）的引進] 36
附錄A 43
附錄B 44
3.2 1-階奇點鄰域內方程的奇異解[注釋：引理5（關於重根討論）的引進] 45
附錄 58
3.3 2-階奇點鄰域內方程的奇異解 58
3.4 3-階奇點鄰域內方程的奇異解[注釋：引理6（奇異階次m確定原則）的引進] 61
附錄 68
3.5 4-階奇點鄰域內方程的奇異解 70
附錄A 81
附錄B 83
3.6 5-階奇點鄰域內方程的奇異解 83
附錄 94

第4章 幾個常見方程的奇異解的求解算例 96
4.1 勒讓德（Legendre）方程的解 96
4.1.1 Legendre方程在有界區間[0，1]上的解 96
附錄 106
4.1.2 Legendre方程在半無界區域[1，∞）上的統一解（λ≠1） 107
附錄 115
4.1.3 方程在半無界區域[1，∞）上的統一解（λ=1） 117
附錄A 124
附錄B 127
4.2 貝塞爾（Bessel）方程的解 128
4.2.1 Bessel方程在有界區間[0，x0]上的解 128
附錄 135
4.2.2 Bessel方程在半無界區域[1，∞）上的解 135
附錄 141
4.3 韋伯（Weber）方程的解 141
4.4 合流（confluent）Lame方程的解 149
4.4.1 confluent Lame方程在有界區間[0，1]上的統一解 149
附錄A 156
附錄B 156
4.4.2 confluent Lame方程在半無界區域[1，∞）上的統一解 157
附錄A 167
附錄B 167
附錄C 169
4.5 馬蒂厄（Mathieu）方程的解 169
4.5.1 變形Mathieu方程在有界區間上的解 170
4.5.2 變形Mathieu方程在半無界區域上的統一解 175
附錄A 184
附錄B 185
4.6 合流超幾何［即庫默爾（Kummer）］方程的求解 186
附錄A 195
附錄B 196

第5章 幾個流體力學問題的化簡與求解 198
5.1 海洋內波與海底地形的相互作用 198
5.2 水氣介面剪切流的穩定性分析 211
附錄A 240
附錄B 240
附錄C 241
附錄D 242
參考文獻 244
後記 246