審訂序
既古典又現代的射影幾何學
洪萬生
在有關「幾何與藝術」或者「數學與大自然」之類主題的數學普及讀物之中，歐氏幾何學通常是科普作家所掌握的主要工具。藉由這種幾何（國中數學課程的主要內容），作家在說明藝術作品或大自然的美妙模式時，大概已經綽綽有餘，更何況這些作品所訴求的對象，無非是擁有國中數學素養的讀者。
當商周編輯諮詢本書Geometry in Nature: Exploring the Morphology of theNatural World through Projective Geometry是否值得出版（中譯本）時，由於我們幾位夥伴曾經合作中譯同一作者（布雷克伍德）的《數學也可以這樣學》（Mathematics in Nature, Space and Time），因此，我稍事瀏覽原著之後，即建議商周中譯本書。沒想到當時主要憑著直覺的推薦，後來竟然有著「無心插柳」的效果。
原來本書作者雖然出身工程，數學並非其大學主修專業，然而，他卻頗有膽識地使用射影幾何學，作為解說大自然美妙模式（pattern）的一個主要的工具。這門學問對於許多主修數學的讀者來說，可能稍感陌生，因為它早已經從大學數學系的（初級）課程中絕跡（目前，大概只有台灣師大數學系的「高等幾何」課程，還可以看到它的藏身之所）。因此，要不是作者注意到它所引伸的射影不變性（projective invariant）在吾人探索大自然的形態學（morphology）中的關鍵角色，我們根本無從發現：一個源自西方文藝復興時期繪畫透視學的幾何學，竟然可以發揮如此優雅的現代「應用」意義。
另一方面，為了審訂本書中譯稿，我還特別參考射影幾何學的專書。其中，對於我最有啟發的，莫過於Jurgen Richter-Gebert所著的《射影幾何學中的透視》（Perspectives on Projective Geometry）。他在計算機上「表現」幾何物件的結構時，也發現「古典的」射影幾何學十分有用。事實上，在《跟大自然學幾何》中作者言而不宣的幾何奧妙，都可以在《射影幾何學中的透視》一書中，找到相當淺近的對應解說。
總之，數學這種既古典又現代的面向，在射影幾何學上表露無遺，本書《跟大自然學幾何》的作者手繪插圖及解說，也為我們提供了最具體的見證！無論你只是欣賞令人驚奇的圖片，或是有意深入理解蘊含的射影幾何，本書都是同類書籍中的上上之選，請千萬不要錯過。
本文作者為台灣師範大學數學系退休教授
譯者序
一段跟大自然學習數學之旅
蘇俊鴻
假期中筆者有機會來趟北京之行，到盛名的天壇公園看看。當地有句順口溜：「天壇走一走，到處都是九。」足以代表的就是其中的圓丘壇：圓丘壇共分三層，每一層都有九圈由扇形青石板所鋪設的環狀排列。最上一層的中央有塊圓形石板，稱為天心石。圍繞天心石的第一環有九塊石板；第二環有 塊石板……直到最下層第二十七圈有 塊石板。這是一個等差數列的例子，也呼應著數學與人類文化的相互影響：源自中國人對於「九」這個（天）數的崇拜。不過，人造物的規律有跡易求，大自然之書所蘊含的規律卻是讓人迷惑再三，苦心思索。《跟大自然學幾何》一書，正是作者布雷克伍德進行數學探尋的詳實紀錄。
面對大自然展現出之各式各樣的形式特徵，作者想要知道：「有理解自然結構的方法嗎？我們能從看到的各種形式中找出系統性嗎？」對於上述問題，作者選擇從幾何學出發是合情合理，但特別的是，其進路為射影幾何學，而非我們比較熟悉的歐氏幾何學。因為，他認為射影幾何學「不同於歐幾里得幾何學，它不依賴測量：測量和形式會從射影幾何的簡單變換中出現」。並且，對於點、線、面這些幾何學中的基本元素，作者也希望我們：「能不能不要把我們世界想成只由點構成，換句話說，不是只有點，而是「點╱線」、「線╱面」這種成對的元素，或是「點╱線╱面」這種三元一組的元素。」如此一來，方能利用這些複合元素及其運動來描述面（surface）的形式。
不過，多數人從未學過射影幾何學，在此容我稍稍補充一些射影幾何學的相關知識：射影幾何又稱畫法幾何，由於建築和繪圖的需要，人們很早就開始研究投影和截影等問題。十七世紀時，文藝復興時期透視投影畫法的興起，提供射影幾何學發展的契機。稍後，法國數學家笛沙格（Girard Desargues）和巴斯卡（Blaise Pascal）兩人的定理為射影幾何學奠下基礎。到了十九世紀，龐賽列（Jean-Victor Poncelet）等人的努力，使得射影幾何學完備並成為獨立學門。
射影幾何學的「獨立」並未減損它與歐氏幾何學的密切關聯。套用十九世紀德國數學家克萊因（Felix Klein）的說法，幾何學是要研究空間在某種特定運動群下種種的不變性（invariants）。比方說，歐氏幾何就是研究平面（或空間）在剛體運動下的不變性。因此，射影幾何就是研究在射影變換下的不變性。何謂射影變換？直觀來看，射影變換可以看成是一連串平行光或是（點）光源射影的組合。而射影平面就是在歐氏平面「補進」一些「無窮遠點」，而這些無窮遠點會構成「無窮遠線」。所以，對代數方程論而言，射影平面比歐氏平面來得完整，這也是為什麼代數幾何學要在射影空間中討論的原因。因此，黃武雄教授在多年前就提出：射影幾何學可以銜接高中的解析幾何。
對於射影幾何稍作說明後，我們再回到《跟大自然學幾何》的介紹。本書共分十五章：第一章導論介紹本書的意旨，想要處理的問題以及採取的進路。第二章介紹笛沙格定理，這是射影幾何的基礎，但作者對於理論著墨不多，而是用了許多實作的圖形，說明利用笛沙格定理如何將自然中的對稱性，如兩側對稱、平移對稱、旋轉對稱等等形式給予一般性的框架。此外，也說明射影幾何中的基本原理――對偶（配極）原理。簡言之，點和直線在平面上會成立的性質，平面和直線在點上也會成立。這個原理使得我們可以轉換觀看的視角。作者認為：「點是我們文化最喜歡的元素，……，細胞、分子、原子，甚至是次原子粒子這些微小之物，它們被認為可以提供關於整體的答案……這種化約論中存在著某種悖謬，也就是當我們越往小的部分去，我們看到的就越少；當整體被化約成部分後，脈絡就消失了。」這正是第三章所討論的重點，對應於自然界的脈絡，分成平面元素、直線元素、點元素，以及三者彼此相互作用的形式。第四章和第五章，作者則是取用許多自然界的實例，從（不）對稱性來驗證先前介紹之數學工具的可行性。
接著，作者處理自然界中賦向（orientation）的問題：第六章說明自然界不同領域（礦物、植物、動物和人）有著不同的趨向，並且與直線的方向相連結。再來，則是處理節點模式（又稱為直線上的律動）問題，第七章先介紹相應的數學工具――直線上的三種測度：成長測度、環繞測度和階段測度。第八章就以自然界的（平面）螺線來說明其可行性。到了第九章，進一步推至三維的射影幾何，以無窮遠點（虛點）個數為依據，介紹全實四面體、半虛四面體和虛四面體三種基本類型的四面體。再用這三個四面體為模型，「點╱線╱面」所成的複合元素如何運動形成路徑曲線，並據以解說自然界中的空氣（水）漩渦的形式；第十一章和十二章則是討論凸狀與凹形這二個常見的形式。所有的數學工具備齊後，作者便引領我們，分別對礦物界、植物界，以及動物界這三個領域所顯現的形式，展示著他如何進行研究探索的歷程，而這正是第十二章到第十四章的內容。最後，第十五章則是指出作者未來打算繼續研究的目標：與人類領域形式的路徑曲線相應的四面體。
從上述內容的簡短描述可知，這是在討論數學與大自然之美等相關主題中，採取頗為「另類」進路的一本數學普及讀物。那麼，在學校課程中，我們可以如何運用呢？儘管作者的數學觀深受華德福教育哲學的影響，亦即，數學的探索關乎著吾人靈修的徹悟。不過，作者工程師出身，以及從事數學教學多年的背景，讓全書充滿實物照片和精美圖案，每個例子都一步步帶領讀著經歷探索的實作過程，連所犯錯誤也不掩飾！所有這些，當然都值得推薦，然而，我們尤其要推薦第十四章，因為一旦理解作者如何找到魚類形式與所配對的路徑曲線，以及路徑所相應的四面體的過程――從如何猜測、測量數據、模型驗證、調整參數，最後，再重複驗證――讀者自然可以真實感受到科學研究的第一手經驗。因此，基於十二年國教新課綱強調跨領域、選修和重視學習歷程的目標，本書可以充當數學與自然科教師，或是數學與藝能科教師設計跨領域教學的參考用書。另一方面，數學教師想將高中數學由解析幾何延伸至射影幾何，設計一門選修課程的話，那麼，本書也是射影幾何實作課程的絕佳參考之一。
總之，本書除了插圖精美、意涵深長之外，對於射影幾何學所發揮的工具特性，也提供了令人驚喜的簡要說明。因此，無論你只是湊個熱鬧，或是有意深入其中門道，本書都可以帶領我們跟著大自然學習幾何！
本文作者為市立北一女中數學科教師
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