趣味數學及程式設計拓展 (電子書)

作者簡介
內容簡介
前言
第1章 神奇整數探求
第2章 素數世家風采
第3章 數式精彩紛呈
第4章 方程經典匯趣
第5章 精巧求解剖析
第6章 多彩數列欣賞
第7章 最優探索展示
第8章 數形結合出彩
第9章 智慧遊戲探秘
第10章 數陣天地大觀
參考文獻

前言

數學是映射科技進步的宏偉殿堂，趣味數學則是其中一座充滿趣與美的雅室。

電腦是現代科技發展的里程碑，程式設計則是一把開啟成功之門的金鑰匙。

2002年在北京的國際數學家大會（ICM2002）期間，91歲高齡的數學大師陳省身先生為少年兒童題詞，寫下了“數學好玩”4個大字。英國數學家羅素說過：“數學，不但擁有真理，而且也具有至高的美，是一種冷而嚴肅的美。”

當你走進趣味數學這座雅室，你就會在親身體驗“數學好玩”的同時，領悟數學的“趣”，感受數學的“美”：邏輯美與形式美、自然美與變幻美、對稱美與非對稱美、和諧美與奇異美，美不勝收！讓你在趣的感悟與美的陶醉之下，萌發溶入數學趣的夢想，湧動發掘數學美的衝動。

趣味數學好玩，程式設計有趣，這兩個深受當代青少年朋友喜愛和追捧的熱點的交匯融合，是資訊時代的必然，是學科相輔相成的典範，更是讀者期盼的水到渠成。

處於資訊社會的今天，趣味數學須與時俱進，適應時代潮流不斷向縱深發展，不斷充實新的養料、注入新鮮血液，原地踏步就會喪失生機與活力。電腦的廣泛普及與程式設計的全面推廣，為趣味數學帶來拓展與勃發的春天。同時，趣味數學也為程式設計應用提供了廣闊而生動的舞臺。

愛因斯坦曾經說過：“興趣是最好的老師，它可激發人的創造熱情、好奇心和求知欲。”趣味數學蘊含“趣”與“美”，程式設計拓展突出“廣”與“深”，把原有趣味數學問題的趣與美拓展到更廣闊的境界與更深入的層次，以培養與提升我們的創新意識與開拓能力。

程式設計作為開發利器，對數學猜想實施程式設計驗證無可厚非。但僅僅停留在驗證階段卻遠遠不夠，有必要發揮這一利器的潛能，開發與光大趣味數學的趣與美，並試圖探測與發掘新的數學瑰寶。

事實上，很多著名數學經典都是由一些簡單案例經引申、拓展與提煉而成的。可以說，任何複雜系統都可以追溯到一個簡單的原型，而許多淺顯問題都可以拓展並融入更為廣闊深奧的境界。

書中構造形趣的卡普雷卡數3025＝（30＋25）2引人注目，通過程式設計從廣度上拓展至多位，從深度上拓展至“多段”和與“多次冪”（下式就是15位6段5次冪式）：

346531411903049＝（346＋53＋141＋190＋30＋49）5

如果說人工推出的4對數位的挑剔數列2 3 4 2 1 3 1 4並不顯山露水，那麼請欣賞n＝12時的挑剔數列：

1 2 1 3 2 11 9 3 10 4 12 8 5 7 4 6 9 11 5 10 8 7 6 12

數列中每一對k（1~12）數中間相隔k個數，其優美而奇特的精妙配置深深打動我們，彰顯出數學序列的形式美與奇異美。

人工打造的對稱乘積式36×84＝48×63體現出樸素的對稱美，如果因其數字較少且運算過於單調而不夠隆重與精彩，那麼請看：

4^5-81×72÷3＋906＝609＋3÷27×18-5^4

數式等號兩邊對稱分佈10個數字，對稱嵌入含乘方（^）的5則運算，等式左右兩邊從數字到運算子完全對稱，精妙絕倫！

以上寥寥數例，充分說明在趣味數學與時俱進向縱深發展的進程中，程式設計拓展不可或缺。

本書精選並提出的趣味數學問題，包括神奇整數探求、精巧數式發掘、多彩數列彙集、幾何優化展示、數形結合欣賞、新穎數陣構建、智力遊戲揭秘等，著名經典與新穎獨創並存，巧妙探求與拓展程式設計同在，題型廣泛，趣美並茂，雅俗共賞，深入淺出。為方便閱讀，把相關或相近的內容整合為一章，每章圍繞一個中心主題展開，各節具有相對獨立性。全書共10章，現把各章的內容簡介如下。

第1章為神奇整數探求。數學是從整數起步的，該章將與諸位一道領略數學殿堂上神奇整數的風韻：有與本身構成數字息息相關的水仙花數、蘭德爾數、優美倍和數與倍積數、數字同奇偶的平方數與優美平方數等；也有數學家們長期研究過的勾股數、長方體數、六個正整數問題、完全數與p-完全數；更有構形獨特的卡普雷卡數、雅趣守形數與精妙的逐位整除數等，琳琅滿目，蔚為壯觀；最後壓軸的“六六大順數”，經邏輯推理層層揭開它的神秘面紗，進而發掘其奇妙的“插9”特性，無疑是神奇整數中的閃光點。

第2章為素數世家風采。素數是整數中探討難度較大、研究內容最多的一類奇特整數，推介試商判別法與厄拉多塞篩法是搜索素數的基礎。素數世家中有頗具結構美的對稱素數、素數變形金剛、逆序素數對、素數等差數列等亮麗“新秀”，更有數學家們提出並研究過的梅森尼數、費馬數、孿生素數對、歐拉與勒讓德素數多項式、哥德巴赫猜想等顯赫“大腕”。展現素集線的“烏蘭現象”描繪了素數集聚的神秘色彩，兩個有趣的連續合數集增添了素數分佈的奇特風韻。素數世家，無愧於“上帝用來描寫宇宙的文字”之美譽。

第3章為數式精彩紛呈。該章在整數素因數分解式的基礎上，探索涉及分數的埃及分數式與橋本分數式，探討涉及整數的優美和式、平方式、變序數和式與變序數倍積式等。在探求隱序四則運算式與優美綜合運算式中，展現數位與運算子的美妙結合。重點發掘從乘積運算、四則運算到綜合運算的系列對稱運算式，讓我們觀察、欣賞、讚歎、領悟數學式的對稱美、和諧美與奇異美！最後壓軸的分段和冪式，則是對卡普雷卡數廣度的開拓與深層的發掘。數式精彩！精彩紛呈！

第4章為方程經典匯趣。該章彙集韓信點兵、百雞問題及羊犬雞兔問題等古典趣算，並探討牛頓“牛吃草問題”、n！結尾多少個零等外國有趣經典。集中探求具有特色的不定方程、不等式等一般數學推理較難處理的難點，其中，和與積的整數部分展示了數學探索與程式設計拓展的有機融合。通過猴子分桃與水手分椰子的妙思巧解，首次把這兩個著名趣題聯繫起來，並統一程式設計拓展。最後的亮點無疑是應用連分數高精度求解佩爾方程，擺平自然界對人類智商的刁難與挑戰。

第5章為精巧求解剖析。精巧求解，包括高精度計算，是最具吸引力的熱點，也是讓人望而卻步的難點。從互積和與嵌套根式和的巧算、同碼數的整除與求和規律探索，到建模統計與分類統計、遊戲中的素數概率計算等，突出一個“巧”字。深入探求最小0-1串積、指定多碼串積與尾數前移問題，突顯一個“精”字。拓展梅齊裡亞克的砝碼問題與錯位排列的伯努利裝錯信封問題，精巧並存，耐人尋味。飄逸于數學殿堂的兩個“幽靈”e和π，凝聚數學的精華，彰顯程式設計的卓越。

第6章為多彩數列欣賞。數列、序列（包括數環）是趣味數學的精彩環節。該章彙聚相親數對與相親數環、斐波那契序列與盧卡斯序列、德布魯金環序列等有影響的著名序列；新推構思獨創的精彩雙飛燕、優美數序列、等冪和n元組、指積序列、雙碼二部數序列與連寫數序列等，妙趣橫生。拓展有著ACM背景的“2部數積”為枚舉難點的突破留下思索的空間。最後壓軸的“挑剔數列”的設計與展現無疑是數列的亮點，其高超的結構美與獨特的奇異美讓人讚歎不已！

第7章為最優探索展示。最優設計與最值探求往往是實際應用案例的目標，是最具挑戰思維與創新精神的課題。該章彙聚有插入運算子的最值、整數分解中的最值、條件最值與無理函數最值等最值探求典型案例；有探求迷宮最短通道、展現序列子段與數陣子形之最的最優操作；有智慧甲蟲安全點、構建最大容器、優化供水網與創新“鐵人三項”等幾何最優設計；重點拓展泊松分酒和杜登尼省刻度尺等形象生動的優化典範。最優探索，有數值的，也有幾何的；有國際經典，也有新穎獨創，頗具啟發性與示範性。

第8章為數形結合出彩。數在形中，數構成形，數形結合，可使圖增色，形添彩。該章彙集在三角形、五角星等幾何圖形上填數、愛因斯坦做過的填數趣題及構建等邊和積三角形等優美圖案；平凡數位經精巧構思排列呈現出各種生動的數碼金字塔、空心菱形、橫豎折對稱、斜折對稱方陣與旋轉方陣等，最生動、最優雅地展現數形結合之美。通過“數形結合巧求最值”展現數形結合在簡化最值求解上的應用，探求素數和環與數碼串珠環等具有理論意義與應用價值的實際案例，令人回味無窮。

第9章為智能遊戲探秘。猜想探索與遊戲揭秘是最具吸引力的熱點，也是檢測與提高探索能力的考點。該章彙聚3x＋1猜想、3位與4位黑洞數探索、等距平方數及歐拉做過的題、單數碼方冪等數字趣題；同時在約瑟夫出圈基礎上推出新穎的橫排左右報數出列，在硬幣行倒面基礎上推出有智慧、有深度的硬幣矩陣翻轉等；探討漢諾塔遊戲、巴什遊戲、威索夫遊戲與移動8數碼遊戲等有難度的遊戲寶典。通過這些具有開創性與智慧性的猜想與遊戲案例，激勵我們開拓計算思維，提升創新意識。

第10章為數陣天地大觀。數陣包括矩陣、方陣以及三角陣等，形式廣泛，內容翻新。該章探討楊輝三角與萊布尼茨三角這兩個中外著名的三角數陣，並建立二者之間的內在聯繫。探索影響深遠的高斯皇后問題、皇后全控棋盤、最長馬步路徑、馬步遍歷與馬步型哈密頓圈，再現棋盤上的風雲故事及其恢宏演繹。幻方是古今中外雅俗共賞的數學奇葩，從千古洛書開始，探討n階幻方、積幻方以及素數幻方的巧妙構建，並首次把“對角正交拉丁方”納入幻方範疇，突顯幻方的博大精深。

本書突出以下特色。

（1）開創探索趣味數學與程式設計交匯融合。

開創趣味數學與程式設計的交匯融合，探索傳統文明與現代科技的緊密結合。應用程式設計把趣味數學問題在廣度與深度上拓展，全方位提升原有問題趣與美的品位，促進趣味數學的深入發展，煥發趣味數學的炫麗青春。

（2）注重趣味性與吸引力，精選趣味數學問題。

精選並提出趣味數學問題注重趣味性與吸引力，立足整數基礎，廣泛涉及數對、數式、數列、數陣、數形與數遊，既有引導入門的基礎題，也有複雜高超的綜合題；既有名揚中外的著名經典，也有構思精巧的新穎獨創，雅俗共賞，深入淺出。

（3）注重程式設計演算法引導與設計技巧綜合運用。

拓展程式採用功能豐富、應用面廣的C語言程式設計設計。考慮到讀者程式設計基礎不一，演算法以基本枚舉與遞推為主，注重程式設計演算法思路引導，注重分解、整合、轉換、求精等技巧的綜合運用。程式給出完整代碼並詳細注釋，有利於程式的閱讀、修改、變通與調試。

（4）展示程式的運行結果，突顯趣與美的拓展。

每一趣味數學問題在思路開拓與精巧求解之後，從廣度與深度上展開拓展程式設計。展示程式運行結果，突顯數學問題趣與美的拓展，使讀者通過欣賞與比較，加深對拓展的理解，有利於激勵開拓計算思維、開啟益智訓練、開展數學娛樂的興趣。

本書得到孫明保教授、劉永年教授、周持中教授、嚴權鋒教授的大力支持，並得到湖南理工學院同行及清華大學出版社編輯們的熱情幫助，在此一併表示感謝！

本書適合大學、中學在校學生閱讀，也可供程式設計基礎不同的廣大數學愛好者與奧數競賽參與者學習參考。開券有益，我相信您總能從書中找到自己的興趣點而有所收益，總能從自己興趣點的引申與拓展中得到啟迪。

趣味數學與程式設計的融合是一個系統工程，本書僅僅為這一工程的起步探索?磚引玉。因所涉範圍太廣，書中疏漏之處在所難免，懇請讀者批評指正。

楊克昌
于岳陽南湖