序章  認識基礎的定理和猜想
 
數學的定理究竟有何意義？
 
從公理或定義推導出來，並證明為真的陳述，就是「定理」。而定理的特徵，在於可做為證明數學表達式的依據，或做為思考數學問題的基礎根底。因此，容易使用、容易應用，便是定理很重要的條件。
 
另一方面，「證明定理」這件事本身，有時就是數學家追求的最終結果。
 
換言之，以數學性的思考來說，定理就是終極目標。因此，定理往往必須是優美的。
 
當我們在認識定理時，也會看到「○○猜想」這樣的詞彙。這指的是數學領域中存在的幾個「○○猜想」。○○是人名，表示這是由○○提出的猜想，但尚未獲得證明。一旦猜想被證明後，才能稱為定理。
 
比較知名的猜想，有「哥德巴赫猜想」及「費馬猜想」。代表這是分別由哥德巴赫及費馬所提出的猜想，但尚未被證明（費馬猜想已在１９９５年獲得證明）。
 
命題本身絕對稱不上困難，但要證明卻極具挑戰，因此全世界的數學家們才會耗費數十年的時間，苦苦思索證明的方法。近來，哥德巴赫猜想終於在電腦的計算下，確認猜想幾乎是正確的，但仍然尚未被證明。
 
活用在日常生活的數學定理
 
大眾通常只覺得數學定理很難，卻不太清楚這些困難的定理，是如何被應用在我們的日常生活。其實我們在生活中享受到的、許多看似理所當然的事物，很可能都是定理的功勞喔。
 
舉例來說，大家比較熟悉的「畢達哥拉斯定理」，就經常用在距離的計算上。進階一點，也能用來計算發射衛星到太空的速度。這時，就要計算衛星要以多快的速度移動，才能在平行於地球表面的軌道上穩定運行，既不會遠離也不會墜落。利用畢達哥拉斯定理，就能算出衛星１秒需要飛行幾km。
 
測量土地時，可以使用正弦定理；若是２地點之間存在障礙物，則可以使用餘弦定理來測量。當我們想知道Ａ、Ｂ這２個地點之間的距離時，中間可能有建築物或山川等障礙物，因此無法直接測量。此時就可以選擇一個無障礙物的地點Ｃ，畫出三角形，就能利用餘弦定理求出想測量的距離。
 
手機是現代生活中不可或缺的工具，而手機的通訊系統中，為了不讓頻率相同的電波相互干擾，相鄰地區必須以不同的顏色劃分區隔，以避免設置電波頻率相同的基地台。這樣的區塊配置，便是應用了４色定理。